Есть известное неравенство, верное для неотрицательных чисел √(a₁a₂)≤(a₁+a₂)/2

Выводится оно достаточно просто: a₁-2√(a₁a₂)+a₂ = (√a₁-√a₂)²≥0

a₁-2√(a₁a₂)+a₂≥0

a₁+a₂≥2√(a₁a₂)

Следовательно: √(a₁a₂)≤(a₁+a₂)/2

Если принять его во внимание, то можно составить неравенства:

√(a₁a₂)≤(a₁+a₂)/2

√(a₁a₃)≤(a₁+a₃)/2

.........................

√(a₁an)≤(a₁+a_n)/2

........................

√(a_n-1a_n)≤(a_n-1+a_n)/2

Можно увидеть, что каждый член a_i входит в сумме корней произведения (n-1) раз

Сложим все эти неравенства, получим:

√(а₁а₂) + √(а₁а₃)+...+√(а₁а_n)+√(а₂а₃)+...+√(а₂а_n)+...+√(а_n-1а_n)≤(a₁+a₂)/2+(a₁+a₃)/2+...+(a₁+a_n)/2+...+(a_n-1+a_n)/2 

Рассмотрим правое выражение, каждый член a_i использется в выражении (n-1) раз

(a₁+a₂)/2+(a₁+a₃)/2+...+(a₁+a_n)/2+...+(a_n-1+a_n)/2 = (n-1)*(а₁+а₂+...+а_n)/2

Следовательно, √(а₁а₂) + √(а₁а₃)+...+√(а₁а_n)+√(а₂а₃)+...+√(а₂а_n)+...+√(а_n-1а_n)≤((n-1)/2)(а₁+а₂+...+а_n)

P.S. Доказать, что √(а₁а₂) + √(а₁а₃)+...+√(а₁а_n)+√(а₂а₃)+...+√(а₂а_n)+...+√(а_n-1а_n)≤((n-2)/2)(а₁+а₂+...+а_n) НЕЛЬЗЯ, так как это не так и видно для n=2

По этой формуле:√(а₁а₂) ≤((2-2)/2)(а₁+а₂ ), т.е. √(а₁а₂) ≤0

Скорее всего, в условии опечатка!